LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU II
DLA KLAS II GIMNAZJUM
Zadanie 15
Sprawdź, że jeśli n jest liczbą pierwszą różną od 2 i 3, to liczba n2-1 jest podzielna przez 24.
Rozwiązanie
Niech P oznacza zbiór liczb pierwszych.
Jeśli n Î P - {2,3}, to n nie dzieli się ani przez 2, ani przez 3.
Zauważmy, że n2 - 1 = (n - 1)(n + 1).
Liczba n jest nieparzysta więc (n - 1) i (n + 1) są kolejnymi liczbami parzystymi. Zatem jedna z nich dzieli się przez 2 i jedna z nich dzieli się przez 4 (bo co druga liczba parzysta dzieli się przez 4).
Liczba n nie dzieli się przez 3 więc z dzielenia przez 3 daje resztę 1 lub 2.
Jeśli n daje resztę 1 z dzielnia przez 3, to n - 1 dzieli się przez 3.
Jeśli n daje resztę 2 z dzielnia przez 3, to n + 1 dzieli się przez 3.
Zatem jedna z liczb (n - 1), (n + 1) dzieli się przez 3.
Ostatecznie (n - 1)(n + 1) dzieli się przez 2 × 4 × 3 czyli przez 24,
a to znaczy, że n2 - 1 dzieli się przez 24.
Rafał Mikulski